Что такое гармоническая прогрессия: определение, формула и примеры

Гармоническая прогрессия — это последовательность чисел, обратные величины которых образуют арифметическую прогрессию. Например, числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, … составляют гармоническую прогрессию: если заменить каждый член его обратным, получится ряд 1, 2, 3, 4, … с постоянной разностью 1.

Это определение сразу показывает, чем гармоническая прогрессия отличается от арифметической и геометрической. У арифметической прогрессии постоянна разность между соседними членами, у геометрической — их отношение. Для гармонической прогрессии постоянный шаг обнаруживается не в самих числах, а в обратных к ним величинах.

Как записать формулу

Пусть последовательность обозначена a1, a2, a3, … Тогда она будет гармонической, если последовательность 1/a1, 1/a2, 1/a3, … арифметическая. Если первый обратный член равен α, а разность этой арифметической прогрессии — d, то общий член гармонической прогрессии записывается так:

an = 1 / (α + (n − 1)d).

Здесь знаменатель не должен быть равен нулю: обратную величину нуля определить нельзя. Параметр d может быть положительным, отрицательным или нулевым; при d = 0 все члены последовательности одинаковы и ненулевые.

Формулу удобно применять и в обратную сторону. Если известны два члена гармонической прогрессии, можно найти соответствующие им обратные величины. Они будут членами арифметической прогрессии, поэтому между ними действует знакомая формула для постоянной разности.

Примеры и проверка

Последовательность 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … гармоническая. Ее обратные величины — 2, 3, 4, 5, …; разность соседних чисел равна 1. Общий член исходной последовательности — an = 1/(n + 1), если первый член считать при n = 1.

Рассмотрим и менее очевидный пример: 2/3, 1, 3/2. Обратные величины этих чисел равны 3/2, 1, 2/3. Это арифметическая прогрессия с разностью −1/2, значит, исходная тройка является конечной гармонической прогрессией.

Для проверки достаточно взять обратные величины и сравнить их разности. Например, последовательность 1, 1/2, 1/4 гармонической не будет: обратные числа 1, 2, 4 имеют разности 1 и 2, а они не равны. То, что члены быстро уменьшаются или выглядят похожими на последовательность обратных чисел, само по себе ничего не доказывает.

Связь со средним гармоническим

С гармонической прогрессией связано гармоническое среднее. Для двух положительных чисел x и y оно равно 2xy/(x + y), или, что то же самое, 2/(1/x + 1/y). Обратные величины здесь складываются, поэтому понятие естественно возникает при работе с гармоническими последовательностями.

Например, среднее гармоническое чисел 2 и 6 равно 3. Оно не совпадает с обычным арифметическим средним, которое равно 4. Гармоническое среднее используют, когда величины усредняют через их обратные значения: классический пример — расчёт средней скорости на равных по длине участках пути. Если ехать половину маршрута со скоростью 2 км/ч, а вторую половину — со скоростью 6 км/ч, средняя скорость будет 3 км/ч, а не 4 км/ч.

На что обратить внимание

В обычном определении гармонической прогрессии члены не равны нулю, поскольку для каждого из них должна существовать обратная величина. Если знаменатель формулы общего члена обращается в ноль при каком-либо натуральном n, такую точку нельзя включить в последовательность как член гармонической прогрессии.

Название может сбивать с толку: сами члены не обязаны быть ни равными, ни расположенными в очевидном порядке. Последовательность может возрастать или убывать — это зависит от арифметической прогрессии обратных величин и от того, на каком участке она задана. Надёжный способ распознать гармоническую прогрессию один: перейти к обратным числам и проверить, постоянна ли разность между соседними членами.